Вступление к циклу лекций для корейских учителей начальной школы, прочитанного в школе «Интеллектуал» в августе 2007 г.
Я начну с вопроса — для чего мы учим математике в начальной школе. Можно
ответить — для того, чтобы научить считать, чтобы получить
математические навыки, необходимые для обучения в средней школе. Но у
курса математики в начальной школе есть еще одно, возможно, более важное
назначение. Математика учит ясности мышления.
Многим детям трудно понимать текст. Им трудно понимать как
художественные тексты, с которыми они встречаются на уроках по родному
языку и чтению, так и условия задач в учебнике математики. Однако есть
большая разница в том, что значит «понимать литературный текст» и
«понимать условие задачи». Когда мы говорим, что ребенок понимает
стихотворение, мы имеем в виду, что он может видеть в нем много разных
смыслов; чем больше смыслов, тем лучше. А в условии задачи ребенок
должен понять ровно один смысл — именно тот, который имел в виду автор
задачи; при этом условие, естественно, не должно допускать
двусмысленностей.
Здесь нужно уточнить — что составляет смысл условия. Понять условие –
значит, уметь проверить, является ли нечто решением задачи или нет. В
популярных задачах «про работу», например, нам не важен возраст
рабочего. То, что мы не знаем этого возраста, не значит, что нельзя
понять условия. Таким образом, математика учит, что нужно стараться
точно понять другого человека; учит пониманию правил поведения и
следованию этим правилам в точности – в тех ситуациях, для которых эти
правила были придуманы.
Трудности в изучении математики у детей часто связаны с тем, что они не
понимают условия задачи (вопроса). Одна из важнейших вещей при
преподавании математики — добиться того, чтобы дети владели всеми
необходимыми понятиями, и добиваться этого нужно с первых дней обучения в
начальной школе.
Может сложиться впечатление, что занятия математикой — это абсолютно
формальная работа. Это, конечно, не так. Занимаясь математикой, мы
попадаем в мир, который точно описан. В таком мире нам известны основные
свойства объектов (определения) и основные законы (аксиомы). В этом —
важное отличие математических миров от реального мира, в котором мы
живем. Но, подобно реальному миру, знание основных, базовых фактов не
ведет автоматически к полному знанию. Как и в реальном мире, в
математических мирах возможно и необходимо исследование! И это
исследование, как и любое исследование, включает в себя эксперименты,
анализ их результатов, выдвижение гипотез и проверку этих гипотез. Целью
исследования может быть выяснение свойств некоторого объекта или группы
объектов, построение алгоритма (метода), обладающего заданными
свойствами и т.п.
Вот примеры тем исследования: (1) нарисовать все прямоугольники с
периметром 24; (2) построить прямоугольник, который при данном периметре
имеет наибольшую площадь; (3) описать все натуральные числа, имеющие
ровно три делителя; (4) придумать алгоритм, позволяющий выигрывать при
игре в полоску (см. М.А. Ройтберг «Игра в полоску»). В первых трех
случаях наш мир – мир натуральных чисел (в первой и второй темах к этому
миру добавляется лист бумаги в клеточку, на котором можно рисовать
прямоугольники). Законы этого замечательного мира школьникам известны
(нам понадобятся, в основном, законы, связанные с делимостью чисел).
Последний мир — значительно меньше, его законы определяются правилами
игры. Но и в этом мире, как мы увидим, возможны интересные и
поучительные исследования.
Подчеркнем, что между математическим и естественнонаучным исследованием
есть два существенных отличия. Во-первых, мы совершенно точно знаем
исходные факты («законы мира», «правила игры»). Во-вторых, результатом
исследования является не только формулировка того или иного утверждения и
проверка, что это утверждение не противоречит проведенным
экспериментам, но и (в идеале) — доказательство утверждения, его
логический вывод из основных законов мира (определений и аксиом). Первое
свойство делает математические исследования хорошим полигоном для
отработки общих навыков исследования. Что касается второго, то здесь (и
здесь тоже) необходимо важное уточнение. В младшей школе (да и позже)
сама идея доказательства представляет значительную трудность для
учеников и, во всей полноте, доступна лишь самым сильным. Цель учителя
начальной школы – объяснить ученикам саму постановку вопроса о
необходимости доказательства («объяснения, что должно быть именно так») и
познакомить учеников с простейшими приемами доказательства, в основном,
основанными на переборе вариантов. Бывает полезно помочь ученикам
сформулировать интуитивно понятные им доказательства.
Наш курс лекций будет посвящен проведению с учениками исследовательской
работы в математических (и, значит, точно описанных) мирах. В чем
отличие таких исследований от решения традиционных школьных задач? В чем
их польза для изучения школьной программы? Начнем с отличий. Вот пример
«обычной» школьной задачи: «У Маши было 5 яблок, у Васи – 3. Сколько
яблок было у Маши и Васи вместе?». Задано небольшое количество исходных
данных и задан конкретный вопрос. В исследовательских проектах описаны
только общие законы мира, правила, по которым живут в этом мире. Задача
состоит в том, чтобы научиться жить в этом мире. Подобно реальному миру,
чтобы ответить на нужный вопрос, нужно самому сформулировать
вспомогательные вопросы и ответить на них. А полученный ответ на
поставленный вопрос является не концом работы, а источником новых
вопросов и новых исследований. Ребенок не только учится отвечать на
вопросы учителя, но и учится самостоятельно ставить новые вопросы.
В начальной школе (в том числе и на уроках математики) игры должно быть
больше, чем «скучной учебы»; доля математики на уроках математики должно
быть такой же, как доля изюма в булочке с изюмом. Исследование — это
всегда игра (не только, когда, как в примере 4 (полоска), наша цель — в
выработке выигрышной стратегии). В ходе этой «игры» ученик учится
активно использовать понятийный аппарат, причем делает это на фоне
положительных эмоций («азарт исследования»). Поэтому работа по
исследовательским проектам укрепляет знания ученика, вынуждает его
ликвидировать пробелы. С другой стороны, такая работа ведет к общему
развитию ребенка, что, в свою очередь, положительно сказывается на его
учебе.
07.08.07
